2.3 MODELOS MATEMÁTICOS PARA SIMULACIÓN DE SISTEMAS

Un modelo matemático, generalmente es un conjunto de ecuaciones (lineales, polinómicas, diferenciales, en diferencias, de densidad de probabilidad, etc.) constituido por un número de variables, y determinado número de parámetros.

La solución del modelo, o equivalente, la determinación de los niveles de las variables de decisión que componen el conjunto de ecuaciones, de forma tal que satisfagan el sistema, conlleva un problema matemático: Encontrar las raíces de un polinomio, la solución general de una ecuación en diferencias, la probabilidad de un evento, etc.

El ingeniero puede solucionar algunos problemas de índole matemática de forma analítica; sin embargo, en los otros, los más, debe recurrir a aproximar la solución mediante técnicas numéricas.

Debido a la naturaleza aleatoria de la simulaciòn es de gran importancia dos temas claves de la probabilidad y la estadística, Funciones de Densidad, de distribución y percentiles

2.3.1 Funciones de Densidad y Funciones de Distribución

La noción de variable aleatoria , que en lo sucesivo se denotará por , se emplea para describir eventos que ocurren en sistemas reales. Asociado con la definición de variable aleatoria se encuentran ligados los conceptos de función de densidad, función de distribución, y función percentil.

Definición 1—1: Función de distribución.

La función de Distribución se define como la función que cumple: y que además satisface

Definición 1—2: Función de densidad.

A la función que satisface :

1. para todo valor de .

2.

Se denomina la función de densidad de probabilidad.

Teorema 1—1: Relaciones entre densidades y distribuciones

Si es una variable aleatoria continua, entonces:

1.

2.

La función de densidad de probabilidad suele emplearse para calcular la probabilidad de eventos en términos de la correspondiente variable aleatoria , por ejemplo

Definición 1—3: Función indicadora

La función de forma que se denomina función indicadora.

Ejemplo 1—1: Estructura probabilística uniforme.

Se dice que cuando su estructura probabilística está guiada por la función de densidad . Es fácil comprobar que para todo y que . En consecuencia , es su función de distribución.

Figura 1—1: Función de densidad uniforme.

 

Figura 1—2: Función de Distribución uniforme.

Notas:

1. Tiene sentido hablar de uniformidad debido a que todos los valores en ese intervalo son igualmente posibles de ser seleccionados en un experimento aleatorio. Formalmente, esto significa que no depende de únicamente del ancho del intervalo.

2. El hecho anterior puede visualizarse gráficamente como en la Figura 1—3.

Figura 1—3: Probabilidad uniforme.

3. Un caso particular de especial interés en simulación se presenta cuando y caso en el que se escribe que