2.3.2 Números aleatorios

Definición 1—4: Números aleatorios
Se denomina números aleatorios a una secuencia de números, donde es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo , es decir, , y provenientes de sucesos independientes.

Nota: La mayoría de los lenguajes de programación y herramientas de análisis de datos, traen incorporadas funciones que permiten generar números aleatorios.

El Ejemplo 1—2 muestra la importancia del empleo de números aleatorios en la estimación de medidas de interés sobre algún sistema en particular.

Ejemplo 1—2: Galois
En la ciudad de la Discreción los duelos son raramente fatales. Allí, cada contrincante llega aleatoriamente entre las 5 a.m. y las 6 a.m. el día acordado y espera exactamente minutos (¡Honor servido!) a menos que su oponente llegue en ese intervalo de tiempo (o haya llegado antes y lo esté esperando) caso en el cual habrá pelea y uno de ellos morirá. ¿Cuál es la probabilidad de muerte?

Solución simulada:

1. : Hora de llegada del duelista con sin pérdida de generalidad puede considerarse que y por lo tanto el espacio muestral está dado por y definiendo el evento : los dos duelistas se encuentran, entonces donde , de ésta manera se pide calcular

2. En síntesis, el simulador esta dado en el Algoritmo 1—3.

Algoritmo 2 —3: Simulador de Galois

3. Con algo de experimentación puede observarse que, como lo garantiza el teorema del límite central,

Solución Teórica:

1. : Hora de llegada del duelista con sin pérdida de generalidad puede considerarse que y por lo tanto el espacio muestral está dado por y definiendo el evento : los dos duelistas se encuentran, entonces donde , de ésta manera se pide calcular

2. Dado que el evento es bidimensional continuo, la medida apropiada es el área, entonces

Figura 1—4: Espacio muestral y eventos de interés del ejemplo de Galois

3. Es fácil ver que el y que el

4. En consecuencia la , en particular si el tiempo de espera es de minutos, y la , es decir en la ciudad de la Discreción las muertes debidas a los duelos son poco frecuentes

2.3.3 Funciones Percentiles y Teorema fundamental de la simulación

Si se desea generar números uniformes (es decir, con igual posibilidad de ser seleccionados) en algún intervalo, entre es fácil comprobar que al definir la variable (aleatoria) , donde es un número aleatorio, se logra ese objetivo.

Ejemplo 1—3: Raíces complejas
¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación cuadrática tenga raíces complejas si y y se sabe que son independientes?

Solución por simulación:

1. El algoritmo que sigue calcula una muestra aleatoria de , es decir y con ella estima la proporción

2. En síntesis, el simulador se presenta en el Algoritmo 1—4.

Algoritmo 2 —4: Algoritmo raíces complejas

3. Con algo de experimentación puede observarse que

En la mayoría de los casos, sin embargo, encontrar una transformación adecuada de un número aleatorio que produzca otro comportamiento más sofisticado deseado, puede ser una tarea difícil, si no imposible, sin la ayuda adicional del Teorema 1—2. Este resultado se constituye en un camino adecuado para encontrar (en principio) cualquier comportamiento probabilístico por difícil que este sea.

Teorema 1—2: Fundamental versión restringida:

Si y entonces:

( 1—1)

Demostración:

Llamando una realización de la transformación señalada, la pregunta es ¿Cuál es su estructura probabilística? Supóngase que es su densidad o bien su distribución. Lo que se debe mostrar es que, siempre .

Para ello, partiendo de la definición de distribución y teniendo en cuenta que es un número aleatorio se tiene que .

Notas:
1. Decir que es una variable aleatoria uniforme en el intervalo , quiere decir, un número aleatorio.
2. A esta expresión se le denomina, la función percentil, que, como se observa, se define como la inversa de la función de distribución, esto significa que .
3. Gráficamente el Teorema 1—2 puede ilustrarse en la Figura 1—5.

Figura 1—5: Representación gráfica del teorema fundamental.

4. Es frecuente también que la función percentil se defina como la inversa de la función de distribución.

 

Ejemplo 1 — 4 : Percentil exponencial

Si es una variable aleatoria con función de distribución dada por la relación donde es un número positivo, entonces la correspondiente función de densidad es y la función percentil está dada por:

( 1 — 2 )