SEDE BOGOTA DNSAV

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2.3.4. Simulador general de una variable (aleatoria) de estado continua

Empleando la función percentil propuesta por el Teorema 1—2 , puede sintetizarse el procedimiento de cálculo de un dato proveniente de alguna población continua en el Algoritmo 1—5 .

Algortimo 2 - 5 : Simulador general de una variable aleatoria continua.

2.3.5. Simulador general de una variable (aleatoria) de estado discreta

Basado en el resultado expuesto por el Teorema 1—2 e interpretando claramente lo que este dice, surge, de forma natural el procedimiento para simular un dato discreto en el Algoritmo 1 - 6.

Algoritmo 2 — 6 : Simulador general de una variable aleatoria discreta.

Ejemplo 1 — 5 : Simulador para una variable aleatoria Binomial.

Si , es decir, entonces, el procedimiento que se exhibe en el Algoritmo 1—7 , producirá datos de una población binomial con los parámetros dados.

Algortimo 2 - 7: Simulador para una variable aleatoria Binomial.

2.3.5. Procedimiento general de la simulación estadística

Es conveniente hacer una distinción en la forma de solucionar un problema. En lo que a este curso respecta, se distinguen dos formas esenciales: Métodos analíticos y Métodos de Simulación

En el primer caso, la respuesta se encuentra luego de una aplicación sistemática del cálculo, la estadística, la teoría de probabilidades, el álgebra, etc. Por el otro lado, en cambio, se imita normalmente a través de números aleatorios, el comportamiento del sistema (implícito en el enunciado del problema) se miden sus variables de interés en cada experimento y finalmente se construyen estadísticas apropiadas que ayuden a aproximar la respuesta que se está buscando.

Formalmente hablando, Sea una variable aleatoria con función de distribución y sea una característica de la población . Para evaluar la característica existen, cuando menos, dos caminos: (1) Calcular exactamente , es decir, encontrar la solución analítica; y (2) Estimar, normalmente mediante simulación, el valor de , en este caso se debe construir una estadística apropiada.

En el segundo camino, se aplican los siguientes pasos:

1.	Encontrar la función percentil .
2.	Obtener una muestra aleatoria de tamaño , , de la población .
3.	Calcular

es en sí misma una variable aleatoria y, en consecuencia, debe tener una función de distribución asociada

La metodología descrita se denomina Procedimiento general de simulación estadística y se denota por .

El conocimiento explicito de se denomina solución analítica mientras la aproximación se conoce como solución simulada.

Ejemplo 1 — 6 : Vendedor de computadores

Un fabricante de computadores sabe, por experiencia, que sus máquinas duran en promedio años sin reparaciones y que el periodo anterior a la primera falla sigue una distribución de probabilidad exponencial. Si garantiza sus computadores durante años ¿Qué proporción de sus clientes necesitaran reparaciones en su equipo debido a fallas durante el periodo de garantía?

1. Solución Simulada

En primer lugar es la característica que se quiere medir de la población .

Debe recordarse que si es una variable aleatoria exponencial, esto es donde es la media; significa que .

En consecuencia la función percentil está dado por

Aplicando este resultado se pueden encontrar los valores para la variable usando la

relación ; con , donde representa el tiempo de la primera falla del computador vendido, medido desde el momento que sale del almacén

Una buena estadística esta dada por la expresión , de esta manera

EL procedimiento que simula esta situación para calcular ésta probabilidad es el que se presenta en el Algoritmo 1 — 8 .

Algoritmo 2 - 8: Simulador vendedor de computadores

La Tabla 1—1 muestra los resultados obtenidos a través de la corrida de un programa de computador en el cual se han implantado estas relaciones para y . El programa se corrió varias veces con diferentes “enes” con resultados como los aquí mostrados:

Número de equipos en prueba simulada (n)	Porcentaje de equipos que se dañan antes de un año (r)	Porcentaje de equipos que duran más de un año (s)
10	30	70
50	44	56
200	46	54
250	41	59
300	40.33	59.67
350	46.33	63.67
400	39.5	60.5
450	40.0	60.0
500	36.8	63.2
550	41.8	58.2
1000	41.8	58.2
1100	40.1	59.9

Tabla 1 - 1 : Resultados de la simulación para diferentes tamaños de la muestra

Mediante este proceso computacional se logró simular la operación de dar al mercado diferente cantidad de máquinas e identificar la cantidad que requirió mantenimiento de reparación antes de un año, obteniéndose un resultado que va desde el 30 al 46.33%. se observa que mientras el número de máquinas es más elevado, el resultado es más concordante con los resultados obtenidos analíticamente, próximo al 39.4%

Se observa que los resultados se acercan razonablemente a la respuesta analítica y que como asegura la ley de los grandes números, .

2. Solución analítica

1.	En primer lugar es la característica que se quiere medir de la población .
2.	Debe recordarse que si es una variable aleatoria exponencial, esto es donde es la media; significa que .
3.	Puesto que lo que se pide es ;
4.	De esto se desprende que, para y , , es decir, el 39% de los computadores que fabrica deberán ser reparados en sus laboratorios; por tanto, incluso si la duración media de la vida de cada máquina es el doble de la duración garantizada, hay una alta probabilidad de que los equipos fallen antes de que termine la garantía.

La construcción de un modelo es un proceso creativo que requiere observación , iniciativa , ingenio y amplios conocimientos en matemáticas puras, probabilidad y estadística.