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CAPITULO 1: LOS NUMEROS REALES

El estudio de cualquier rama de las matemáticas requiere un buen conocimiento de las principales propiedades de los números reales, así como de propiedades especiales de algunos de sus subconjuntos más notables. El propósito de este capítulo es presentar el mínimo de nociones que consideramos indispensables para cubrir estas necesidades.

Lección 1.1

Una Visión Preliminar

La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un largo proceso de extensión y de generalización.

Los números más simples, los que utilizamos para contar, son los enteros positivos:

$1,2,3,4,5,\ldots$

Representamos el conjunto de los enteros positivos por $\QTR{Bbb}{Z}^{+}$ .

Si al conjunto de los enteros positivos le añadimos el número , obtenemos el conjunto de los números naturales que representamos por $\QTR{Bbb}{N}$ . Es decir,

Si a $\QTR{Bbb}{N}$ le agregamos los inversos aditivos de los enteros positivos, obtenemos el conjunto de los números enteros que representamos por $\QTR{Bbb}{Z}$ . Luego,

El conjunto de números más simple después de los enteros es el conjunto de los números racionales. Los números racionales surgieron ante la necesidad de medir con bastante precisión distintas magnitudes tales como longitud, peso, tiempo y muchas otras. Un número es racional si puede expresarse en la forma $\dfrac{p}{q}$ donde y son enteros con $q\neq 0$ . Como ejemplo de números racionales podemos citar:

Observamos que los números racionales $\dfrac{4}{1}$ y $\dfrac{12}{-6}$ son simplemente los enteros y . En general, todo número entero es un número racional.

El conjunto de los números racionales lo representamos con el símbolo $\QTR{Bbb}{Q}$ .

Los griegos fueron conscientes de que los números racionales no son suficientes para medir todas las longitudes. Aunque ellos demostraron que $\sqrt{2}$ mide la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado , también probaron que $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos enteros.

Los números que no son racionales, se llaman números irracionales. En un contexto más avanzado, se puede demostrar que existen mucho más números irracionales que números racionales. Por el momento, podemos mencionar que si es un número racional y $r\neq 0$ entonces $r\sqrt{2}$ es un número irracional. La reunión de todos los números racionales y todos los números irracionales constituye el conjunto de los números reales que representamos por $\QTR{Bbb}{R}$ .

Entre los conjuntos numéricos hasta ahora mencionados existen las siguientes relaciones:

donde $\subset$ representa la inclusión entre conjuntos. En todos los casos la inclusión es estricta.

También es conveniente mencionar que el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales con respecto a $\QTR{Bbb}{R}$ . Por lo tanto si representamos por $\QTR{Bbb}{I}$ el conjunto de todos los números irracionales, tenemos la relación