CAPITULO 1: LOS NUMEROS REALES

 


 Lección 1.2.  
   Adición y Multiplicación de Números Reales

Sobre el conjunto $\QTR{Bbb}{R}$ de los números reales tenemos definidas dos operaciones, la adición y la multiplicación que asignan a cada par $x,y$ de números reales su suma $x+y$ y su producto $x\cdot y$ (que escribiremos abreviadamente como $xy$) de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades básicas:

P.1

$\QTR{Bbb}{R}$ es cerrado para la adición y la multiplicación. Es decir, si $x$ y $y$ son números reales, entonces $x+y$ y $xy$ son también números reales.

P.2

La adición y la multiplicación en $\QTR{Bbb}{R}$ son conmutativas. Es decir, si $x$ y $y$ son números reales, entonces

MATH

P.3

La adición y la multiplicación en $\QTR{Bbb}{R}$ son asociativas. Es decir, si $x,y$ y $z$ son números reales, entonces

MATH

P.4

La multiplicación es distributiva, a izquierda y a derecha, con respecto a la adición en $\QTR{Bbb}{R}.$ Es decir, si $x,y$ y $z$ son números reales, entonces

MATH

P.5

Existen identidades para la adición y la multiplicación en $\QTR{Bbb}{R}$. Es decir, existen dos números reales diferentes que representamos por $0$ y $1$, tales que para todo número real $x$ se tiene

MATH

P.6

Existen inversos para la adición de números reales y para la multiplicación de números reales diferentes de cero. Es decir,

Para todo número real $x$, existe un número real que representamos por $-x$, tal que

MATH

Para todo número real $x\neq 0$, existe un número real que representamos por $\dfrac{1}{x}$, tal que

MATH

El número $-x$ se llama el inverso aditivo de $x$ o el opuesto de $x$. El número $\dfrac{1}{x}$ se llama el inverso multiplicativo de $x$ o el recíproco de $x$.

Dados los números reales $x,y$ y $z$, la propiedad asociativa de la adición nos dice que $x+(y+z)=(x+y)+z$. Esto nos lleva a definir sin ambigüedades el símbolo $x+y+z$ como el resultado común de estas expresiones. Similarmente, si $x,y,z$ y $w$ son números reales, por repetidas aplicaciones de la propiedad asociativa de la adición podemos comprobar que los números

MATH

son todos iguales y definir $x+y+z+w$ como el resultado común de estas expresiones. En general, si tenemos una colección finita MATH de números reales, todas las formas posibles en que los asociemos para sumarlos producen el mismo resultado y podemos definir MATH como este resultado común.

También, dada una suma MATH de $n$ números reales, la propiedad conmutativa de la adición nos permite cambiar arbitrariamente el orden de los sumandos.

Obviamente, podemos hacer consideraciones similares para la multiplicación de números reales.

Ejemplo 1.1. En la siguiente lista se ilustran algunas de las propiedades de la adición y multiplicación de números reales. Todas las letras representan números reales.

 



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