Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 1.9. |
Densidad de los Números Racionales y de los Números Irracionales en R
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Dados dos números reales diferentes
y
,
su promedio
esta comprendido entre
y
.
Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se
encuentren, hay una infinidad de números reales. Esto implica que dado un
número real cualquiera
no tienen sentido expresiones tales como " el número real siguiente a
"
o " el número real anterior a
".
Usando nuestra caracterización de los números reales como expresiones decimales, podemos refinar el resultado anterior y establecer los siguientes resultados:
Resultado 1. Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.
Resultado 2. Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.
Los resultados 1 y 2 se describen en lenguaje matemático diciendo, respectivamente, que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales y que el conjunto de los números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.
Ejemplo 1.15. Construyamos dos números racionales y dos
números irracionales entre
y
.
Usando expresiones decimales periódicas tenemos que
son dos números racionales entre
y
.
Usando expresiones decimales no periódicas tenemos que
son dos números irracionales entre
y
.
