CAPITULO 2: FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

 


 Lección 2.12.  
   Fracciones Algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas. Si la fracción algebraica es el cociente de dos polinomios, la llamamos una fracción racional. Algunos ejemplos son

MATH

La primera y tercera fracciones son fracciones racionales.

La mayoría de las fracciones que consideramos, son fracciones racionales en una sola variable. Como la división por cero no es posible, siempre que tratemos con fracciones, supondremos implícitamente que los denominadores son diferentes de cero.


 2.12.1.  
   Simplificación de fracciones

En el trabajo con fracciones, se acostumbra a simplificarlas hasta donde sea posible, de tal manera que obtengamos fracciones donde el numerador y el denominador no tengan factores comunes. El principio básico para simplificar fracciones es la relación siguiente, que mencionamos en el capítulo 1,

MATH

Este principio, nos indica que podemos cancelar los factores comunes distintos de cero que aparecen en el numerador y el denominador de una fracción.

Ejemplo 2.34. Simplifiquemos algunas fracciones

Algunos errores muy frecuentes en la simplificación de fracciones se presentan por aplicación de las siguientes fórmulas incorrectas

MATH

Ejemplo 2.35.


 2.12.2.  
   Operaciones con fracciones

Las operaciones de suma resta multiplicación y división de fracciones se basan en las propiedades que mencionamos en el capítulo 1 y que para comodidad repetimos ahora. Estas propiedades son:

Cuando realizamos operaciones con fracciones debemos simplificar el resultado hasta donde sea posible. En los casos de multiplicación y división de fracciones, cuando sea factible, se simplifican numeradores y denominadores, antes de realizar las operaciones mas complejas.

Ejemplo 2.36.

Cuando se suman o restan dos o mas fracciones algebraicas, es aconsejable escribir todas las fracciones con el mismo denominador pues en este caso las operaciones resultan inmediatas si aplicamos repetidamente las fórmulas

MATH

Cualquier denominador común funciona, pero el mas utilizado es el mínimo común denominador (m.c.d.), que podemos encontrar de la siguiente forma: Primero factorizamos todos los denominadores y luego formamos un producto que contenga a todos los factores que aparezcan en cualquiera de los denominadores, elevados a la mayor potencia conque se presenten en ellos. Este producto es el mínimo común denominador.

Ejemplo 2.37. Hallemos el m.c.d. de las siguientes expresiones

MATH

Tenemos

MATH

Luego el mínimo común denominador es

MATH

Ejemplo 2.38. Hallemos

MATH

El mínimo común denominador es $(x-2)^{2}(x+2)$. Por lo tanto

MATH

y

MATH

luego MATH


 2.12.3.  
   Racionalización de fracciones

Algunas veces se hace necesario expresar una fracción de tal manera que su numerador o su denominador no contenga radicales. El proceso a seguir se conoce con el nombre de racionalización del numerador o el denominador, según sea el caso y lo ilustramos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.39.

 



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