Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 2.13. |
Desigualdades
|
Una condición en
es una expresión que contiene la variable
y se transforma en una proposición matemática, es decir en una
afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye
por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un
número real.
El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.
La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:
Si
entonces
para todo número real
.
Si
y
entonces
y
.
Si
y
entonces
y
.
Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad
Las siguientes desigualdades son equivalentes:
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo
,
que se muestra en la figura siguiente
Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad
Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades
las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo
.
Ejemplo 2.43.
Resolvamos la desigualdad
La desigualdad es equivalente a
El producto
puede cambiar de signo solo en
o en
,
que son los puntos donde
o
.
Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la
recta en tres intervalos
En cada uno de estos intervalos
conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para
determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido
dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos
en el intervalo
los valores de
y
son ambos negativos y por lo tanto
en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los
resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente
| Intervalo |  |
 |
 |
Signo de
 |
 |
 |
 |
Signo de
 |
 |
 |
 |
Signo de
 |
 |
 |
 |
donde el signo
se obtiene aplicando las reglas de los signos.
Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es
.
Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.
En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.
Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad
Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de
separación resolviendo las ecuaciones
,
y
.
Los puntos de separación son
,
y
.
Tenemos el siguiente diagrama
Analizando el signo resultante, es decir el signo de
,
vemos que la solución de la desigualdad dada es
.
Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad
La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes
Elaborando el diagrama de signos tenemos
Por lo tanto la solución de la desigualdad es
.
