SEDE BOGOTA DNSAV

CAPITULO 2: FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

Lección 2.14.

Desigualdades Cuadráticas

Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:

MATH

con $a\neq 0$ .

Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ donde $a\neq 0$ son

MATH

Además, fácilmente se verifica que $r_{1}$ y $r_{2}$ satisfacen las siguientes relaciones

MATH

La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquier trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c$ en todos los casos posibles.

Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadráticas. Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que , pues en caso contrario, multiplicando la desigualdad por , esta se transforma en otra desigualdad cuadrática con .

Se presentan dos casos

Caso 1 Si $b^{2}-4ac\geq 0$ .

En este caso la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ tiene raíces reales $r_{1}$ y $r_{2}$ , podemos factorizar el trinomio $ax^{2}+bx+c$ en la forma , y la desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.

Caso 2 Si $b^{2}-4ac<0$ .

En este caso las raíces de la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ no son reales, sino complejas, y la factorización no sirve para resolver la desigualdad.

Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:

Completando el cuadrado tenemos

MATH

Por lo tanto las desigualdades cuadráticas se transforman en su orden en

MATH

Como estamos suponiendo que y sabemos que $b^{2}-4ac<0$ , las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno.

Ejemplo 2.46. Resolvamos la desigualdad

$3x^{2}-10x+2\leq 0$ .

En este caso . Por lo tanto la ecuación $3x^{2}-10x+2=0$ tiene raíces reales que son

MATH

Luego la factorización de $3x^{2}-10x+2$ es

MATH

y la desigualdad original es equivalente a

MATH

Elaborando el diagrama de signos tenemos

Vemos que la solución de la desigualdad es el intervalo

Ejemplo 2.47. Resolvamos la desigualdad $2x^{2}+4x+5\geq 0$ .

En este caso tenemos que . Por lo tanto la ecuación $2x^{2}+4x+5=0$ no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad $2x^{2}+4x+5\geq 0$ es todo $\QTR{Bbb}{R}$ .

Ejemplo 2.48.

Resolvamos la desigualdad $-5x^{2}+7x-6>0$ .

La desigualdad es equivalente a $5x^{2}-7x+6<0$ .

Para esta última desigualdad tenemos que . Por lo tanto la ecuación $5x^{2}-7x+6=0$ no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad $5x^{2}-7x+6<0$ es $\emptyset$ . Es decir, la desigualdad original $-5x^{2}+7x-6>0$ no tiene soluciones reales.

Para terminar esta sección, recalcamos que cuando y $b^{2}-4ac<0$ , las desigualdades cuadráticas, o tienen como conjunto solución todo $\QTR{Bbb}{R}$ , o no tienen soluciones reales.