Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 2.15. |
Desigualdades con Valor Absoluto
|
En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real
,
que representamos por
,
mediante
También observamos en dicho capítulo que
representa la distancia del origen al punto
,
y de forma mas general que
representa la distancia entre
y
.
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.
Propiedades del valor absoluto. Si
y
son números reales arbitrarios entonces
,
(Desigualdad triangular)
y
La interpretación geométrica de
nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades
Sea
.
Entonces
es equivalente a
es equivalente a
o
Gráficamente tenemos
Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente
es equivalente a
En las propiedades (6) a (8) el símbolo
puede remplazarse por
.
Ejemplo 2.49. Resolvamos la desigualdad
.
Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo
.
Ejemplo 2.50. Resolvamos la desigualdad
.
La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a
Resolviendo
o sea
Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es
Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad
.
Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de
 |
+ | - | - |
Signo de
 |
- | - | + |
Signo de
 |
- | + | - |
Vemos que la solución de la desigualdad es
.
