CAPITULO 2: FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

 


 Lección 2.9.  
   División de Polinomios

En cuanto a la división tenemos el principio de la división euclidiana de acuerdo con el cuál, dados dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ con $q(x)\neq 0$, al dividir $p(x)$ por $q(x)$ se obtienen dos polinomios: un cociente $c(x)$ y un residuo $r(x)$ tales que




MATH




Los polinomios $c(x)$ y $r(x)$ son únicos. Estos polinomios se obtienen mediante el proceso llamado división larga.




Consideremos por ejemplo,

MATH




O escritos en orden descendente de los exponentes de $x$,




MATH




Al dividir $p(x)$ por $q(x)$ obtenemos




$6x^{4}$ $+3x^{3}$ $-2x^{2}$ $+3x$ $+4$ $4x^{2}$ $+x$ $+1$
$-6x^{4}$ $-\dfrac{3}{2}x^{3}$ $-\dfrac{3}{2}x^{2}$ $\dfrac{3}{2}x^{2}$ $+\dfrac{3}{8}x$ $-\dfrac{31}{32}$
$\dfrac{3}{2}x^{3}$ $-\dfrac{7}{2}x^{2}$
$-\dfrac{3}{2}x^{3}$ $-\dfrac{3}{8}x^{2}$ $-\dfrac{3}{8}x$
MATH $+\dfrac{21}{8}x$
$\dfrac{31}{8}x^{2}$ $+\dfrac{31}{8}x$ $+\dfrac{31}{32}$
$\dfrac{115}{32}x$ $+\dfrac{159}{32}$




de donde el cociente es




MATH




y el residuo es




MATH




tenemos efectivamente que




MATH




Veamos otros casos:




  1. Sean

    MATH




    Tenemos la igualdad




    MATH




    es decir, el cociente es el polinomio $0$ y el residuo es el polinomio $p(x)$.




    Este ejemplo ilustra el caso en que $p(x)=0$ o el grado de $p(x)$ es menor que el grado de $q(x)$: como cociente basta tomar 0 y como residuo el mismo polinomio que se está dividiendo.

  2. MATH




    $5x^{4}$ $+3x^{3}$ $-x^{2}$ $+3x$ $+2$ $x$ $-2$
    $-5x^{4}$ $+10x^{3}$ $5x^{3}$ $+13x^{2}$ $+25x$ $+53$
    $13x^{3}$
    $-13x^{3}$ $+26x^{2}$
    $25x^{2}$
    $-25x^{2}$ $+50x$
    $53x$
    $-53x$ $+106$
    $108$




    Así, el cociente es MATH el residuo es $r(x)=108$.




    También en este caso,




    MATH




    Observemos los dos últimos renglones: el coeficiente principal de $p(x)$ , que es $5$, y el coeficiente principal del cociente coinciden puesto que el coeficiente principal de $q(x)$ es 1. Los demás coeficientes de $p(x)$ se obtienen al realizar las operaciones $q(x)c(x)+r(x)$. Así $3$, el coeficiente de $x^{3}$ en $p(x),$ es igual a $13$, que es el coeficiente de $x^{2}$ en $c(x)$, menos 2 veces $5$, que es el coeficiente de $x^{3}$ de $c(x).$ El coeficiente de $x^{2}$ en $p(x),$ esto es $-1,$es igual a $25$, que es el coeficiente de $x$ en $c(x)$, menos 2 veces $13$ que es el coeficiente de $x^{2}$ en $c(x).$ El coeficiente de $x$ en $p(x),$es decir $3$, es igual a $53$, que es el término independiente de $c(x)$, menos 2 veces $25$, que es el coeficiente de $x$ en $c(x)$. Finalmente, el término independiente de $p(x)$, es decir $2$, es igual a $106$, que es el residuo $r(x)$, menos 2 veces $53$, que es el término independiente de $c(x)$.




    Esto nos permite expresar los coeficientes del cociente así:




    El coeficiente principal, coeficiente de $x^{3}$, es igual al coeficiente principal de $p(x)$.




    El coeficiente de $x^{2}$ en $c(x)$ es igual al coeficiente de $x^{3}$ en $p(x)$ más 2 veces el coeficiente de $x^{3}$ en $c(x)$.




    El coeficiente de $x$ en $c(x)$ es igual al coeficiente de $x^{2}$ en $p(x)$ más 2 veces el coeficiente de $x^{2}$ en $c(x)$.




    El término independiente de $c(x)$ es igual al coeficiente de $x$ en $p(x)$ más 2 veces el coeficiente de $x$ en $c(x)$.




    El residuo $r(x)$ es igual al término independiente de $p(x)$ más 2 veces el término independiente de $c(x)$.




También en este caso podemos hacer un análisis más general: al dividir un polinomio $p(x)$ de grado n por uno de grado 1 de la forma $x-d$, se obtiene un cociente cuyo grado es $n-1$ y un residuo que es 0 o un polinomio de grado 0, es decir, una constante.




Si MATH




la igualdad




MATH




es decir,




MATH




implica

MATH




Así, tomando una fila formada por todos los coeficientes de $p(x)$ en orden MATH y sumando $0$ a $a_{n}$ y así sucesivamente a cada uno de los demás coeficientes MATH, el producto de $d$ por la última suma, se obtienen, en orden, los coeficientes del cociente y el residuo.




$a_{n}$ $a_{n-1}$ $a_{n-2}$ $\cdots$ $a_{1}$ $a_{0}$
$0$ $db_{n-1}$ $db_{n-2}$ $\cdots$ $db_{1}$ $db_{0}$
$b_{n-1}$ $b_{n-2}$ $b_{n-3}$ $\cdots$ $b_{0}$ $k$




En esto consiste la división sintética.




Así, para obtener el cociente de dividir MATH por $x+1$, tenemos en cuenta que $x+1=x-(-1)$ procedemos así:




$7$ $0$ $-4$ $3$ $-1$ $-6$
$0$ $-7$ $7$ $-3$ $0$ $1$
$7$ $-7$ $3$ $0$ $-1$ $-5$




El cociente es entonces MATH y el residuo es $r(x)=-5$.







Volviendo a la discusión general acerca de la división, cuando, el divisor es de forma $x-d$, el residuo es una contante $k$ y




MATH




Entonces, al calcular $p(x)$ en $d$ (es decir al reemplazar $x$ por $d$ en el polinomio y realizar las operaciones indicadas), obtenemos:




MATH




Así hemos demostrado el TEOREMA DEL RESIDUO:




Teorema 2.9.1. (Teorema del Residuo) El residuo de dividir un polinomio $p(x)$ por el polinomio $x-d$ es $p(d)$.




Ejemplo 2.27.

  1. Al evaluar el polinomio MATH




    obtenemos




    MATH




    y este es el residuo de dividir $p(x)$ por $x-2$ como fue visto antes.




  2. Podemos asegurar que el residuo de dividir MATH por $x+1$ es $-5=p(-1)$. Este resultado también fue hallado por división sintética antes.




Como un caso particular del teorema del residuo aparece el TEOREMA DEL FACTOR:




Teorema 2.9.2. (Teorema del Factor) El polinomio $x-d$ es factor del polinomio $p(x)$ si y solo si $p(d)=0$.




Demostración : Como MATH, $x-d$ es factor del $p(x)$ si y solo si $p(d)=0$.




A continuación nos ocuparemos de este caso.

 



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