Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 3.16. |
La Circunferencia y el Círculo
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Definición 3.16.1. Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia fija, su radio, desde un cierto punto, su centro. O de manera más precisa una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.
La circunferencia con centro en
y radio
es el conjunto de todos los puntos en el plano con
.
El radio es pues la distancia del centro a un punto sobre la circunferencia y
el diámetro es la longitud del segmento que une dos puntos sobre la
circunferencia y contiene al centro, la longitud de este segmento es entonces
el doble del radio
.
Se hace también referencia al círculo, superficie plana limitada por
la circunferencia. Incluye los puntos que están sobre la circunferencia y
los puntos que están en el interior, es decir todos los puntos cuya
distancia al centro es menor o igual que el radio
.
En la figura aparece sombreado el interior.
Un segmento que conecta dos puntos sobre la circunferencia es llamado una
cuerda (En la figura
es una cuerda). Desde luego el diámetro es una cuerda, pero no toda
cuerda pasa por el centro.
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Una tangente es una recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia y una secante es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.
Un sector circular es la parte del círculo comprendida entre dos radios y
el arco interceptado por ellos. En la figura
.
Y un ángulo central es el que tiene su vértice en
el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios,
en la figura.
| 3.16.1. |
El Perímetro de la Circunferencia
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Seguramente usted ya ha realizado en el colegio una actividad como la siguiente
Construir circunferencias de diferentes radios
por ejemplo.
Medir con una cuerda la longitud de cada una de estas circunferencias que
llamaremos
.
Calcular la razón
En esta actividad podemos observar que esta razón, en todos los casos es
muy próxima a
.
Esta observación se puso ya de manifiesto en culturas muy antiguas como
la egipcia y la babilónica a las que nos referimos en la
introducción.
Realmente la razón es constante, es el número irracional
,
que tiene un expresión decimal infinita no periódica.
Como curiosidad las primeras 50 cifras decimales de este número son:
Una buena aproximación la usaban ya los Babilonios, simplemente la
fracción
.
En muchas de las aplicaciones que nosotros trabajamos basta tomar
.
De la mencionada razón es posible obtener una expresión para el perímetro o longitud de la circunferencia, que es simplemente:
nota La longitud de un arco se obtiene dividiendo la circunferencia entre 360 y multiplicando el cociente por el número de grados del arco.
La longitud de un arco de 1º es
.
Por tanto la longitud
del arco de
es
Ejemplo 3.8. En la circunferencia de la figura
y
.
Encontrar la longitud del arco
Solución: La longitud de la circunferencia puede ser vista como
la longitud del arco de un ángulo de
;
además la medida en grados de un arco nos dice qué porción de
la circunferencia es cubierta por el arco. Por tanto para calcular la longitud
de un arco basta conocer el radio de la circunferencia y la medida en grados
del arco.
Como
,
entonces la medida del arco,
.
De donde
,
cubre
del total de la circunferencia.
Por tanto,
| 3.16.2. |
Área del Círculo
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La circunferencia no es un polígono pero puede ser aproximada por polígonos tanto como uno lo desee. Para determinar el área de la región interior podemos intentar recubrirla como lo hacíamos con los polígonos, pero resulta mas fácil usar sectores circulares para recubrirla. (Un sector es una región limitada por dos radios y un arco de la circunferencia).
Observa la figura,
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Las áreas se aproximan más y más al área del círculo
cuando el número de subdivisiones de la circunferencia es cada vez mayor.
Desde esta idea se puede concluir que el área
del círculo de radio
es:
Ejemplo 3.9. Encontrar el área del sector circular sombreado en la figura.
Solución:
,
por tanto el sector sombreado es
del área del círculo. Por tanto:
