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El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que el cuerpo ocupa.

Si cada uno de los lados de las caras de un cubo tiene una unidad de longitud, podemos afirmar que cada cara tiene una unidad cuadrada de área. Como el cubo tiene seis caras podemos decir además que el área de la superficie de este cubo es de 6 unidades cuadradas; pero también podemos afirmar que este cubo tiene una unidad cúbica de volumen . Por esta razón es llamado cubo unidad. Usualmente el volumen es medido en unidades cúbicas.

Ejemplo 3.13

¿Cuál será entonces el volumen del sólido que se construye como se ilustra en la figura con cubos unidad? Las dimensiones de la base son respectivamente: 12 y 7 unidades lineales y tiene 17 unidades de altura.

En la capa de la base se han colocado cubos unidad y hay 17 de estas capas. Es decir el volumen total se puede hallar determinando el producto , hay pues en total 1248 cubos unidad, el volumen es de 1428 unidades cúbicas.

Como en el caso del área de un rectángulo la idea anterior nos permite intuir que el volumen de un paralelepípedo rectángulo (una caja) es igual al producto de sus tres dimensiones.

Si las dimensiones de este paralelepípedo rectángulo son , , su volumen es,

Esta expresión es equivalente a afirmar que si el área de la base del paralelepípedo es y la altura es , el volumen es,

Como caso especial, el volumen de un cubo es el cubo de la arista, pues sus tres dimensiones son iguales. Si la arista es , el volumen es,

La idea anterior se puede generalizar al volumen de un paralelepípedo cualquiera (o de un prisma cualquiera).

El volumen del paralelepípedo de la figura es , donde es la altura y es el área de la base. De donde , siendo la altura y el área de la base.

Ejemplo 3.14.

1. Si un cubo tiene de volumen. ¿Cuál es la longitud de un lado?

   Solución. Sea la longitud de un lado, como , se tiene que

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2. Si un cubo tiene de lado y otro tiene de lado , ¿cuál es la razón entre los volúmenes de los dos cubos?

   Solución. El volumen del primer cubo es y el volumen del segundo cubo es y la razón entre el volumen y el volumen es .

3. Si las dimensiones de una caja se incrementan en 2, 3 y 4 unidades. ¿Qué sucede con el volumen de la caja?

Solución. Si las dimensiones originales de la caja son , , , su volumen original es . Si las nuevas dimensiones son , y , tenemos que:



De donde el volumen de la nueva caja es:



Efectuando la multiplicación obtenemos que:



El volumen se incrementa entonces en:

Por ejemplo si las dimensiones de la caja original son , , , el volumen de la caja sería 480 y el de la nueva caja sería . En ese caso se incrementaría en 752 unidades cúbicas.