SEDE BOGOTA DNSAV

NOTAS DE TRIGONOMETRIA

Lección 5.1.

Ángulos . Medida de Ángulos

En geometría se define un ángulo como la unión de dos semi-rectas con origen común. En Trigonometría se interpreta como una rotación de rayos. Si se toman dos rayos coincidentes, uno permanece fijo y el otro gira alrededor del punto que se considera el vértice. El rayo que permanece fijo recibe el nombre de lado inicial y el que rota el lado final. Se trabaja con ángulos generalizados, esto quiere decir que el rayo que gira lo puede hacer cualquier número de veces y en cualquier dirección. Si el rayo pasa más de una vez por su posición original, suele decirse que es de más de una vuelta. Si gira en sentido contrario de las manecillas del reloj, se dice que está orientado positivamente, si lo hace en el mismo sentido de las manecillas del reloj está orientado negativamente.

En muchas ocasiones es necesario utilizar ángulos en posición normal o canónica. Un ángulo en posición normal es aquel que tiene su vértice en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, el lado inicial coincide con el eje x positivo y el lado final está contenido en uno de los cuatro cuadrantes determinados por el sistema cartesiano, o está sobre uno de los ejes,en cuyo caso es un ángulo cuadrantal.

Como el número de giros del lado final así como su sentido no tienen restricción, los lados inicial y final de dos ángulos diferentes pueden coincidir. (Observe las siguientes figuras).

La medida de un ángulo en fracciones sexagesimales fue utilizada por los Babilonios para cálculos en astronomía, recordemos que la unidad de medida, es el grado.

En algunas aplicaciones en las que se usa el cálculo diferencial o integral se requiere como unidad de medida el radian, que se define de la siguiente manera:

Definición 5.1.1. Un radián es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y que barre un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Si $\alpha$ es un ángulo con vértice en el centro de un círculo de radio R, su medida en radianes es: $\dfrac{S}{R}$ , donde S es la longitud del arco subtendido por $\alpha$ .

Ejemplo 5.1.

Si $\alpha$ es un ángulo central que mide 6 radianes y subtiende un arco de 33 pulgadas , la medida del radio de la circunferencia es: $\dfrac{33}{6}=5.5$ pulgadas
La longitud del arco que subtiende un ángulo central que mide 2 radianes en una circunferencia de 3 cm de radio es: ,

Si $\theta$ es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio R y A es el área del sector circular determinado por $\theta$ entonces .

Observe que esta fórmula es válida cuando $\theta$ está medido en radianes.

Por ejemplo, si quiere encontrar el área del sector determinado por el ángulo central de medida $45^{\circ }$ en una circunferencia de radio 8 cm, debe expresar la medida del ángulo $\theta$ en radianes. Como la medida de un ángulo de $45^{\circ }$ mide $\dfrac{\pi }{4}$ radianes: