Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 5.14. |
Aplicaciones de la Trigonometría
|
Hemos visto aplicaciones en problemas que pueden resolverse utilizando las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Hay casos en los que se requiere el uso de triángulos que no son rectángulos y sin embargo es posible encontrar sus elementos (lados, ángulos), mediante los Teoremas del Seno y del Coseno, que establecen relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo oblicuo (no contiene un ángulo recto).
| Lección 5.14.1. |
Teorema del Seno
|
Si en el triángulo:
,
,
,
son las longitudes de los lados opuestos a
,
,
,
respectivamente:
Para encontrar todos los elementos de un triángulo mediante el teorema del Seno, debe utilizar cualquiera de las siguientes informaciones:
Dos lados y un ángulo opuesto.
Dos ángulos y cualquier lado.
Ejemplo 5.37. Encuentre la medida de los ángulos y de
los lados desconocidos del triángulo
si se sabe que:
,
,
.
Solución:
,
entonces:
.
Despejando:
,
entonces
.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
entonces
,
entonces:
.
Despejando:
,
entonces
Ejemplo 5.38. Dos observadores colocados a 110 metros de
separación en
y en
en la orilla de un río están mirando una torre en la orilla opuesta
en el punto
.
Midieron los ángulos
y
que fueron de
y
respectivamente. A qué distancia está el primer observador de la
torre?
Solución:
A partir del triángulo
Reemplazando y despejando:
El primer observador está aproximadamente a
.
de la torre
Ejemplo 5.39. Un poste vertical de 60 pies de longitud
está colocado al lado de un camino inclinado. Proyecta una sombra de 138
pies de largo directamente colina abajo a lo largo del camino, cuando el
ángulo de elevación del sol es de
58
(observe la figura). Encuentre el ángulo de inclinación
del camino.
Solución:
El triángulo
es rectángulo. Si se conoce
,
puede calcularse
,
teniendo en cuenta que
.
Por el teorema del Seno:
.
Despejando:
;
.
El ángulo de inclinación es de
.
| Lección 5.14.2. |
Teorema del Coseno
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En algunos problemas no es posible aplicar solamente el teorema del Seno, como es el caso en el que se conocen solamente dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Si se tienen estos elementos y se quiere calcular los que hacen falta, se aplica el teorema del Coseno y ya conocido el lado restante puede utilizarse el Teorema del Seno.
Si en el triángulo
,
,
,
,
son los lados opuestos a los ángulos
,
,
,
respectivamente, entonces:
Ejemplo 5.40. En una esquina de un campo triangular, el
ángulo mide
,
los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 metros y 120 metros de
largo. ¿Cuánto mide el tercer lado?
Solución:
Ejemplo 5.41. Dos corredores
,
parten del mismo punto
a las 12:00 del día. Uno de ellos se dirige hacia el norte a 6 millas por
hora y el otro se dirige a
al este del norte a 8 millas por hora. ¿Cuál es la distancia entre
ellos a las 3:00 de la tarde?
Solución:
Debemos encontrar la longitud de
,
entonces encontramos las longitudes de
y
:
Como parten a las 12 del día, a las 3:00 de la tarde cada uno ha corrido durante tres horas.
Así:
Por el teorema del Coseno:
