SEDE BOGOTA DNSAV

NOTAS DE TRIGONOMETRIA

Lección 5.8.

Expresiones con las Funciones Seno y Coseno

Las funciones trigonométricas permitieron la real incursión del hombre en la naturaleza de los sonidos y $\log$ raron que su conocimiento fuera utilizado en el diseño de aparatos como el teléfono, el fonógrafo, la radio,...etc. Inicialmente el estudio matemático de los sonidos, no se realizó con la aplicación de las funciones trigonométricas.

Los Pitagóricos descubrieron que la longitud de dos cuerdas igualmente tensionadas y pulsadas levemente cuyos sonidos armonizaban, están relacionadas por una simple razón aritmética. La menor nota es originada por las cuerdas de mayor longitud. Diseñaron escalas musicales cuyas notas fueron medidas cuantitativamente por las longitudes de las cuerdas vibrantes porque poseían valores numéricos precisos. Fueron los matemáticos del siglo XVII quienes iniciaron otras investigaciones e hicieron importantes descubrimientos.

Merssene, por ejemplo, estudió el efecto de cambiar la tensión y la masa de la cuerda y encontró que un aumento en la masa y una disminución en la tensión producen notas bajas en una cuerda de longitud dada. Este descubrimiento fue muy importante para instrumentos con cuerdas, tales como el violín y el piano.

Galileo y Hooke demostraron experimentalmente que cada sonido musical está caracterizado por un número determinado de vibraciones del aire por segundo.

Grandes matemáticos del siglo XVII, estudiaron cuerdas vibrantes, tales como las cuerdas de un violín, y encontraron que las funciones trigonométricas eran adecuadas para representar estas vibraciones. El análisis matemático de las características del sonido, se continuó y se llegó a la conclusión que la matemática era una herramienta poderosa para el estudio de los sonidos. A pesar de que estos sonidos provengan de diferentes instrumentos y de distintos medios, ellos son descritos por las mismas leyes.

Todos los sonidos musicales son periódicos. Esto es, un sonido musical es un movimiento de moléculas de aire que es repetido muchas veces en un segundo. Estos movimientos periódicos pueden describirse usando las funciones Seno o Coseno.

Recordemos que la función Seno tiene como periodo 2 $\pi$ , esto significa que la función repite su comportamiento en cada intervalo de longitud $2\pi$ a lo largo del eje horizontal (tomamos como variable independiente).

Si representa el tiempo en segundos, la frecuencia con la cual se repite la gráfica es 1 en $2\pi$ segundos.

La función tiene las siguientes características: Repite su comportamiento dos veces en cada intervalo de longitud $2\pi$ o una vez en uno de longitud $\pi$ . La frecuencia es 2 en cada $2\pi$ segundos o 1 en $\pi$ segundos.

Si , y tiene un periodo de $\frac{1}{256},$ y una frecuencia de 256 por segundo.

Esta función representa un sonido puro o simple que se repite 256 veces en un segundo. Tal sonido es dado por un diapasón, que está diseñado para vibrar a esta frecuencia.

Los valores de y representan la variación de los desplazamientos de una molécula de aire desde su reposo hasta su posición no perturbada.

Pero los sonidos musicales no son simples. Cada sonido musical es una combinación de sonidos simples. Joseph Fourier, estableció que todo sonido musical puede ser representado como la suma de funciones trigonométricas simples.

La forma sería:

MATH