SEDE MANIZALES DNSAV

2.2 RENDIMIENTOS EFECTIVOS (INTERÉS COMPUESTO)

2.2.1 Conceptos básicos

* Valor presente, P: corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de interés i y durante N periodos.

* Tasa de interés periódica, i: Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de conversión de los intereses a capital.

* Periodos de conversión, N: Tratándose de rendimientos efectivos, N son los periodos de conversión durante los cuales se invierte o se presta P.

* Valor futuro, F: El valor futuro F, es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la transacción. Equivale a un pago único futuro en N, equivalente a un pago único presente ahora.

2.2.2. Esquema de pagos únicos equivalentes

A continuación se ilustra el esquema de pagos únicos a través del diagrama de flujo de caja:

Los intereses obtenidos periódicamente se han reinvertido o capitalizado hasta el final de los períodos de conversión.

(1 + i ) ^N: Se conoce como el factor que convierte un pago único presente en un pago único futuro equivalente a una tasa de interés i y en N periodos.

Las aplicaciones del esquema de pagos únicos:

1. Dados los valores del valor presente, la tasa de interés y los periodos de conversión, hallar el valor futuro.

Ejemplo 1.

Hallar el valor futuro de $1 millón, invertido a una tasa del 5% trimestral al cabo de 2 años. Definamos los valores de las variables así:

P = 1.000.000

i = 5% periódico trimestral

N = 8 periodos trimestrales.

Nota: La periodicidad de la tasa de interés debe coincidir con la periodicidad del plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de interés determina la periodicidad.

Luego elaboramos el diagrama de flujo de caja y definimos la formula que determina el valor futuro:

F = 1.000.000 * (1+ 0.05)⁸ = $1.477.455.

El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de $1.000.000. siempre y cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se reinviertan a la misma tasa durante los 8 periodos trimestrales siguientes. La equivalencia en matemáticas financieras supone siempre la reinversion a la tasa de interés periódica.

2. Dados los valores del futuro, la tasa de interés y los periodos de conversión hallar el valor presente.

Ejemplo 2.

Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 años, si la tasa de interés es del 2% mensual.

F = 2.000.000

i = 2% mensual

N = 36 meses.

F = P * (1+ i)^N , despejamos el valor de P.

P = F * (1+i)- N. (1+ i )^-N: Es el factor que convierte un pago único futuro de valor F, en un pago único presente de valor P equivalente.

Diagrama de flujo de caja:

P = 2.000.000 * (1+.02)^-36 = $980.446.

Valor presente, P: El valor presente de una cantidad F, es aquel valor P que invertido ahora a una tasa de interés i y en N periodos será igual a F. Lo anterior quiere significar que si se invierten $980.446 ahora en una entidad que paga una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de $2.000.000.

3. Dados los valores: presente, valor futuro y tasa de interés, hallar los periodos de conversión.

Ejemplo 3.

En cuantos meses una inversión de $5.000.000 se duplica, si la tasa de interés es del 1.5% mensual.

P=5.000.000

F=10.000.000

i=1.5% mensual.

De F = P * (1 + i)^N , despejamos el valor de N.

N = log ( F / P ) ÷ log ( 1+ i ).

N = log2 ÷ log1.015 = 47 meses aproximadamente.

4. Dados los valores: presente, valor futuro y de los periodos de conversión, hallar la tasa de interés periódica.

Ejemplo 4.

Una inversión de $2 Millones, realizada hace 15 años alcanza hoy un valor de $70 Millones. Por consiguiente determinar tasa de interés mensual, trimestral, semestral y anual.

P = 2.000.000

F = 70.000.000.

Mensual:	Trimestral:	Semestral:	Anual:
N = 180	N = 60	N = 30	N = 15
i=1.99%	i=6.10%	i=12.58%	i=26.75%

Para hallar la tasa de interés periódica, despejamos de F = P * ( 1 + i )^N el valor de i.

i = ( F / P )^{1/ N}-1.

Las tasas periódicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior significa que si la tasa periódica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del trimestre se dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al final del año de 26.75%. Así con las otras tasas en las cuales se obtiene una tasa periódica anual del 26.75%, en todos los casos.