5. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA

Importancia fundamental reviste el tema de las ecuaciones de valor para comprender el concepto del valor del dinero en el tiempo, los factores de las matemáticas financieras, los sistemas de amortización de deudas y los criterios para evaluar proyectos de inversión y alternativas operacionales.

5.1. CONCEPTO DE ECUACIÓN DE VALOR

Un conjunto de obligaciones, que pueden ser deudas y pagos o ingresos y egresos, con vencimientos en ciertas fechas pueden ser convertidas en otros conjuntos de obligaciones equivalentes pero, con vencimientos en fechas diferentes. Un conjunto de obligaciones equivalente en una fecha también lo será en cualquier otra fecha.

5.1.1. Ilustración del concepto de Ecuación de Valor:

Ejemplo

Una obligación de $1.000 debe ser cancelada dentro de un año, si tasa es del 2% periódica mensual, determine el valor a cancelar o valor futuro al cabo de los 12 meses. El diagrama de caja, de acuerdo a lo enunciado, seria el siguiente:

Si se quiere hallar el valor de F, simplemente se aplica la formula: F = P * (1+i)N F = 1.000 * (1+.02)12 =1.268.24 El anterior resultado se calculó trasladando el valor de P = 1.000 que esta en 0 a N = 12, donde esta el valor futuro F. Esta simple operación indica que no se puede comparar cantidades de dinero que estén en diferentes fechas, para que la comparación se pueda realizar las cantidades de dinero deberán estar en la misma fecha.

Nota: La comparación de cantidades de dinero equivale a sumar o restar.

El ejercicio también puede resolverse trasladando el valor futuro F que esta en N = 12, a la fecha actual 0, donde esta el valor presente P = 1.000, de la siguiente forma:

P = F * (1+i)-N

1.000=F*(1+.02)-12

F=1.268.24

El resultado de F es el mismo que se había determinado, cuando la comparación se efectuó en N = 12.

También podemos determinar el valor de F, comparando (sumando o restando) las cantidades en cualquier fecha, pero siempre y cuando estén en la misma fecha. Por ejemplo elijamos la fecha de comparación en 6, para hacer el cálculo entonces debemos trasladar P= 1.000 de la fecha 0 a la fecha 6 y F de la fecha N =12 a la fecha 6.

  1.000*(1+.02)6 = F*(1+.02)-6
Despejamos F: F = 1.000*(1+.02)6*(1+.02)6
  F = 1.000*(1+.02)12 = 1.268,24

El resultado, de nuevo arroja un valor de $1.268,24, independiente de la fecha que se halla elegido como fecha de comparación.

El pago de 1.268.24, contiene amortización a capital de 1.000 e intereses por la suma de 268.24.

El ejercicio anterior resume lo que se conoce como Ecuación de Valor.

La metodología en el establecimiento de la ecuación, es la siguiente:

Ejemplo.

Regresemos al ejemplo anterior de la deuda de $1.000 y supongamos que al final del sexto mes deseamos efectuar un abono de $500 y el saldo pagadero al final del mes 12. El diagrama de flujo de caja ahora es el siguiente:

Una forma de solucionar el ejercicio y sin necesidad de acudir al concepto de ecuación de valor, podría ser trasladar la deuda inicial de $1.000 al final del sexto mes y restar el abono de $500 (esta resta es posible por encontrarse ambas cantidades en la misma fecha), el saldo adeudado ahora trasladarlo al final del mes doce, de la siguiente manera, y este será el valor del pago a efectuar y que cancela totalmente la deuda.

1.000*(1+.02)6 = 1.126.16. Valor adeudado al final del mes sexto.
1.126.16-500 = 626.16 Saldo adeudado después de efectuar el abono al final del sexto mes.
626.16*(1+.02)6 = 705.16 Valor del pago a realizar para cancelar totalmente la deuda al final del mes doce.

Veamos ahora la solución utilizando el concepto de Ecuación de Valor:

De acuerdo a la metodología indicada, debemos definir la tasa de interés que para nuestro ejemplo es del 2%, luego escoger la fecha focal, que como se menciono puede ser cualquiera. Elaboraremos el ejercicio con diferentes fechas focales, para comprobar que el resultado es el mismo, independientemente de la fecha seleccionada.

Fecha focal =0:

1.000=500*(1+.02)-6+A*(1+.02)-12

Fecha focal =3:

1.000*(1+.02)33=500*(1+.02)-3+A*(1.02)-9

Fecha focal =9:

1.000*(1+.02)9=500*(1.02)3+A*(1+.02)-3

Fecha focal = 15:

1.000*(1.02)15=500*(1+.02)9+A*(1+.02)3

Como se puede comprobar, el valor del pago al final del mes doce es de $705.16, independientemente de la fecha focal seleccionada. Hay que resaltar que la ecuación planteada en los casos anteriores corresponde exactamente a la misma ecuación, realmente lo que hemos realizado ha sido afectar ambos lados de la ecuación por un factor que es el resultado de elevar el binomio (1+i) por una potencia que es la diferencia entre las fechas focales. Por ejemplo, la ecuación cuando se resolvió el valor de A con fecha focal 15, es la ecuación planteada con fecha focal 9, multiplicada ambos lados por factor (1+.02)6. 6 la potencia del binomio es la diferencia entre las fechas focales. Una deuda o préstamo puede ser cancelado de múltiples formas. La forma como se cancela o amortiza un crédito no afecta la tasa de interés, la tasa será la misma, lo que se afecta será el monto de los intereses. Los intereses serán altos cuando se amortiza el capital mas lentamente, el monto de los intereses bajos cuando se amortiza el capital mas rápidamente, pero todos los sistemas de amortización serán equivalentes cuando prevalezcan las condiciones de la tasa.

 


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