SEDE MANIZALES DNSAV

7.5 SERIES GRADIENTES ESCALARES GEOMÉTRICAS

7.5.1 Crecientes.

7.5.1.1 Forma general y conceptos básicos:

Análogamente a la serie escalar aritmética, en la serie escalar geométrica las cuotas permanecen iguales durante un determinado periodo, pero se incrementan en un porcentaje dado para el siguiente periodo en el cual vuelven a permanecer iguales y así sucesivamente para el total de periodos o escalas.

La definición de conceptos elaborada para la anterior serie gradiente escalar es pertinente también para esta, solamente es necesario definir el concepto del gradiente geométrico escalar, TG.

TG= El valor en porcentaje en el cual varían los grupos de cuotas que permanecen iguales durante la escala. Corresponde al valor del gradiente porcentual.

7.5.1.2. Valor presente y valor futuro de la serie gradiente escalar geométrica.

Tal como lo hemos venido efectuando, inicialmente calculamos el valor de la serie estableciendo una ecuación de valor y una vez que la obtengamos, calculamos el valor futuro, invocando la equivalencia entre el valor presente y valor futuro que se debe dar en los sistemas de amortización equivalentes de pago. Efectivamente lo que se pretende es elaborar un plan de pagos equivalente, en el cual el valor presente de los pagos es igual a P y el valor futuro de esos mismos pagos debe ser igual a F. (La equivalencia entre el valor presente y el valor futuro del esquema de pagos únicos). De acuerdo a lo anterior, definamos como fecha de comparación cero y asemejemos la serie escalar en una serie uniforme (la variación se da entre cuotas sucesivas), donde el valor de la primera cuota A1 es igual al valor futuro de la serie uniforme de E cuotas y el valor del gradiente geométrico a TG.

Encontremos pues, el valor presente:

Para construir la ecuación del valor futuro de la serie, multiplicamos ambos lados por el factor (1+i)^N tal como se ha pregonado antecedentemente.

Ahora, retomemos de nuevo el ejercicio el cual nos ha servido para efectuar todas las comprobaciones y verificar los supuestos de los sistemas de amortización estudiados.(P=1.000.000, N=180, i=2%).

Determinemos el valor de las cuotas, suponiendo varios eventos y enfatizando que estos sistemas son totalmente equivalentes y por lo tanto con todas las características enunciados para estos, como son: Equivalencia entre el valor presente y el valor futuro, esto significa que el valor P=1.000.000 es equivalente al valor futuro F=35.320.831, la sumatoria de capital contenida en las cuotas igual a P=1.000.000, la sumatoria de los intereses dependiendo de lo lento o rápido en que se efectué la amortización a capital.

* Supongamos que el crecimiento anual de las cuotas mensuales sea nulo, TG=0. El sistema de amortización planteado es el de una serie uniforme, en el cual cada año las cuotas mensuales sean iguales y anualmente el crecimiento sea nulo y así permanezcan durante los 15 años.

Reemplacemos en la ecuación de valor presente por los valores siguientes:

P=1.000.000. Valor presente del desembolso.

i_E=(1+.02)12-1=26.82%. Tasa de interés escalar que corresponde en este caso a la tasa periódica anual o tasa efectiva anual.

E=12. El número de cuotas mensuales iguales durante el periodo anual o la escala.

N= 15. El número total de escalas o de años en este caso.

TG= 0%. Quisimos iniciar con el crecimiento de 0%, para confirmar que la ecuación nos permite encontrar sistemas de amortización equivalentes a la serie uniforme.

Una vez reemplazados en el valor de la ecuación de P las variables y despejado el valor de R1, tenemos que: R1=20.582.74. Este es el valor de las primeras 12 cuotas y de todas las demás, carecen de crecimiento. Hemos comprobado el resultado que esperábamos.

* Ahora estimemos que la tasa de inflación anual esperada para los próximos 15 años sea del 10% y nuestro ferviente deseo es que las cuotas se comporten de acuerdo a dicha tasa, la cual corresponde al incremento salarial.

Las variables son idénticas al caso anterior, solamente el gradiente porcentual o geométrico toma el valor del TG=10% anual. Es importante resaltar, que la tasa de inflación es similar a un gradiente geométrico, de aquí se desprende la utilidad de este modelo. El deseo es elaborar un plan de pagos que conserve el poder adquisitivo constante a través del periodo de pago y siempre equivalga en términos reales al mismo valor respecto al salario.

Reemplazando y despejando obtenemos los valores de las cuotas, que cancelan totalmente la deuda:

R1= 14.226.56. Valor de las primeras doce cuotas mensuales iguales, correspondiente al primer año o primera escala.

R2= 15.649.21. Valor de las siguientes doce cuotas, las del segundo año, y se han incrementado en el 10% respecto al primer año.

Las cuotas se incrementaran en el 10% anual, periodo tras periodo y así hasta el último año:

R15= 54.025.32. Valor de las cuotas del ultimo año, las cuales cancelan totalmente el crédito.

7.5.2 Serie gradiente escalar geométrica decreciente:

El procedimiento descrito en la serie escalar, es análogo para ambas, creciente o decreciente. Simplemente cuando la serie es creciente el sentido del gradiente es positivo y cuando es decreciente, este gradiente es negativo. Esta serie es otro sistema equivalente, con todos los atributos mencionados para estos casos.