Capítulo 2 : VARIABLES ALEATORIAS

 

5.5 Momentos De Una Variable Aleatoria

Sea X es una variable aleatoria. El r-ésimo momento de X consiste en obtener los valores esperados de X hasta de orden r:
Se conocen varias clases de momentos, a saber:

1. Respecto al origen, denotado por r , es definido por:
r= E(X ) , existe sí la esperanza existe.
Así se tiene: 1 = E(X) _____ = 2 - 1= V(x)

2. Respecto al momento central.
r = E((X – E(X))
1 = 0
2 = E(X - E(X)) = V(x) =
3 = E(X - E(X)) , llamado medida de asimetría.
4 = E(X - E(X)) , reconocida como medida de curtosis.

• La simetría de una distribución de probabilidades, véase la próxima figura, es otro rasgo interesante de una variable aleatoria, utilizando el momento central de tercer orden se puede decir que sí:

3 = 0 : La variable es simétrica respecto a su valor esperado
3 < 0 : Existe asimetría a la izquierda (asimetría negativa)
3 >0 : Existe asimetría a la derecha (asimetría positiva)

3. Momento Factorial De Orden R
Hay otra manera de obtener artificialmente los diferentes momentos de orden r, ésta es llamada momento factorial definida como:

Mr = E (X (X - 1) (X - 2) ... (X - r+1))

Para r = 1, M1 = E(X)= 1

r = 2, M2 = E(X(X-1)) = E(X – X) = E(X ) – E(X) = M2 - M1= 2 - 1

entonces = 2 - 1 y así sucesivamente.

Ejemplo 24. Con base en el ejemplo 20, indicar cual es la forma de la distribución.

- 3 = E(X - E(X)) =

3 = 3 / = -546 / 8.5 =-0.889 < 0.

- 4= E(X - E(X)) =

- 4= 4 / 4 = 13296.06 / 8.5 = 2.547 < 3

De acuerdo a los cálculos realizados, se puede señalar que la distribución de la variable discreta, según el ejercicio 19, tiene una forma asimétrica negativa y es aplanada.

- Aplicando la desigualdad de Tchebyshev con k=1.5

P(|X – 15.5| 1.5*8.5 ) P(2.75 < X < 28.25 ) 0.56

La probabilidad de que la variable aleatoria X este entre 2.75 y 28.25 es de al menos 0.56.

Ejemplo 25. Continuando con el ejemplo 20, obtener la asimetría y apuntamiento de la distribución.

- 3 = E(X - E(X)) = 2*10 >0

_ 2 = E(X - E(X)) =1*10 = =1000 = 2 > 0 La asimetría es positiva

- 4= E(X - E(X)) = 9*10 4= 9 > 3

El apuntamiento es tipo leptocurtico.

- Aplicando la desigualdad de Tchebyshev con k=2

P(|X – 1100| 2*1000 ) P(-900 < X < 3100 ) 0.75
Al menos el 75% de los componentes eléctricos tienen duraciones entre 100 y 3100 horas.

 



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