Capítulo 2 : VARIABLES ALEATORIAS

 

5.6 Función Generadora De Momentos

Dada una variable aleatoria X, con función de densidad (ó de probabilidad). Se define con el nombre de función generadora de momentos a:

E (e ) = MX (t)__ t, - b < t < b___ b >0

=M(t)

existe cuando exista el valor esperado.

Sí existe MX (t), va a ser única y determina completamente la distribución de una variable aleatoria.
La existencia de M(t), permite que M(t) sea continuamente diferenciable, garantizando la existencia de tales derivadas de orden r en t = 0, las que resultan ser los momentos con respecto al origen de una distribución, de ahí su nombre.

Ejemplo 26. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es:

Determine: a. M(t).___ b. E(x).__ c. V(x)

Solución:

Ejemplo 27. Un jugador de baloncesto lanza la bola hasta que encesta, momento en el cual finaliza sus lanzamientos, la probabilidad de encestar es 0.4

Si X es la variable aleatoria que denota el número de ensayos que realiza el jugador.

Halle: a. fX (x)____ b. M(t)__ c. E(x) ___d. V(x)

Solución: Como los lanzamientos se pueden asumir como independientes, entonces

Ejemplo 27. Un jugador de baloncesto lanza la bola hasta que encesta, momento en el cual finaliza sus lanzamientos, la probabilidad de encestar es 0.4

Si X es la variable aleatoria que denota el número de ensayos que realiza el jugador.

Halle: a. fX (x)____ b. M(t)__ c. E(x) ___d. V(x)

Solución: Como los lanzamientos se pueden asumir como independientes, entonces


TEOREMA 5

Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos MX (t).
Sí Y = a X+ b entonces MY (t) = e MX (at)

Demostración:

 



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