Capítulo 2 : VARIABLES ALEATORIAS

 

4. FUNCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Sea una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad, una función real tal que:


La descripción de la función de una variable aleatoria puede hacerse por intermedio de las funciones de probabilidad, densidad y distribución. Estas pueden ser obtenidas conociendo las funciones equivalentes de la variable aleatoria original, como sigue:

4.1 Sí es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad fx (x), y ( ) = Y una variable aleatoria definida sobre el recorrido de . Entonces la función de probabilidad de ( ) es:

Ejemplo 11. Sea una variable aleatoria que toma valores enteros en [-5, 6] con igual probabilidad. Obtener

 

Ejemplo 12. Una persona gana determinada cantidad (Y) de dinero según el número de puntos obtenidos al lanzar un dado (X). H(X) = Y = 3x - 10

4.2 Dada la variable aleatoria X absolutamente continua con función de densidad gX(x), la función Y = H(X) puede ser una variable aleatoria:

a. Continua. Se obtiene primero la función de distribución y por derivación se logra la función de densidad.

Ejemplo 13. Sea I la corriente variable distribuida igualmente en el intervalo (9, 11). Sí esta corriente fluye a través de una resistencia de 2 ohmios. Encontrar la función de densidad de la potencia, siendo ésta

TEOREMA 1.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad gX(x), Y = H(x) una función estrictamente creciente o decreciente y derivable para todo x en los reales. Entonces

b. Discreta. La función de probabilidad FY (y), se puede calcular así :

Ejemplo 14. El porcentaje de material de cierto componente se puede considerar como una variable aleatoria con la función de densidad

El precio de venta del compuesto depende del contenido de material y se vende a US$3 el galón sí está entre 1/3 y 2/3, de otro modo se vende a US$ 2. El costo de producción es de US$1.6. Encuentre la función de probabilidad de la utilidad (U).


TEOREMA 2.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad no monótona gX(x) y H(X)=Y una función aleatoria de X. Entonces la función de densidad de la función Y se puede obtener como:

Ejemplo 15. Sea X una variable aleatoria con función de densidad gX(x) = 0.5 -1 < x < 1. Y sea la función aleatoria H(X) = x2. Entonces:

 



Universidad Nacional de Colombia
Carrera 30 No 45-03 - Edificio 477
Bogotá D.C. - Colombia

Aviso Legal - Copyright
Gobierno en LíneaAgencia de Noticias UN