CONJUNTOS CONVEXOS
 

El concepto de conjunto convexo es algo sencillo de entender desde un punto de vista geométrico. Son conjuntos convexos aquellos que tienen la propiedad de que al unir con un segmento dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento queda completamente contenido en el propio conjunto.

DEFINICION: Un conjunto S es convexo cuando: X, Y S y [0,1] se cumple:

X+(1-) Y S

Ejemplos:

Para comprender mejor la definición de conjunto convexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntos X y Y, los puntos de la formacorresponden justamente con los puntos del segmento que une X y Y.

X + (1 - ) Y con [0, 1] Por tanto, un conjunto es convexo cuando el segmento que une cualquier par de puntos del conjunto está completamente contenido en el conjunto.

 

Conjunto no convexo:

Como generalización del concepto de segmento entre dos puntos, se define lo que se entiende como combinación lineal convexa de una serie de puntos.

DEFINICION: Un punto es una combinación lineal convexa de m puntos cuando puede expresarse en la forma:

X = 1 x1 + 2 x2 + ... + n xn dondei 0 y 1 + 2 + ... + n = 1

Un conjunto es convexo si y solo si toda combinación lineal convexa de puntos del conjunto pertenece al propio conjunto.

 

 
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS

 

  • La intersección de un número finito de conjuntos convexos sigue siendo un conjunto convexo.
  • Por el contrario, la unión de conjuntos convexos no es necesariamente un conjunto convexo.
  • Otra operación que efectuada sobre conjuntos convexos hace que el resultado pueda perder la convexidad es la diferencia entre conjuntos.

Los conjuntos formados por un número finito de puntos no son convexos, salvo el caso de los que únicamente tienen un punto.

Para los casos en que un conjunto no sea convexo, resultaría interesante analizar si de alguna manera se podría completar dicho conjunto para hacerlo convexo; se plantea entonces la necesidad de intentar encontrar el menor conjunto convexo que contiene a uno dado. Este conjunto siempre existe y recibe el nombre de envoltura convexa.

De la definición anterior pueden deducirse dos formas de construir la envoltura convexa de un conjunto dado:

  • Intersección de todos los conjuntos convexos que lo contienen.

  • Conjunto formado por todas las combinaciones lineales convexas de puntos del conjunto.

 



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