Vicerrectoría General
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EJEMPLO NÚMERICO SOBRE ARCOS
Para el arco triarticulado mostrado, formado por dos costillas de parábola cúbica, determinar:
a). las reacciones;
b). el valor del momento, cortante y la fuerza axial en D;
c). el valor de la fuerza axial máxima.
Figura 4.28: arco triarticulado propuesto
a). Reacciones.
Como existen cuatro reacciones es necesario tener en cuenta la articulación en el punto B, condición especial para complementar las tres condiciones de equilibrio de la Estática.
Tomando la estructura global y aplicando sumatoria de momentos en el punto A, se obtiene:
SMA = 0
SMA = -34Cy + 3,4Cx + 4(2) + 2(8) = 0
-34Cy + 3,4 Cx = -112(ec. 1)
Para obtener otra ecuación independiente es necesario tomar el diagrama de cuerpo libre de la parte derecha y plantear la condición de equilibrio en el punto B.
Figura 4.29 Diagrama de cuerpo libre de la costilla derecha
SMB = 0
SMB = 4(8) – 18Cy+ 11,4 Cx = 0
-18Cy + 11,4 Cx = -32(ec. 2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1,2) se obtiene:
Cy = 3,58 t
Cx = 2,84 t
Y planteando las demás condiciones de equilibrio se tienen las demás reacciones:
Ay=2,42 t
Ax= 2,84 t
b.) Para determinar las fuerzas internas en el punto D, se hace un corte en ese punto, cuyo diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3.26. La fuerza axial ND que se muestra alejándose de la sección (convención (+) tradicional) es tangente al arco y su posición va variando a medida que se cambia de sección. La posición se referencia con el ángulo a que hace con la horizontal y el cortante VD se muestra perpendicular. Teniendo en cuenta que la fuerza axial es de compresión en los arcos, muchos autores, definen la compresión como (+).
Para calcular el momento en D, basta determinar las coordenadas del punto D; la distancia vertical desde Bpara la distancia horizontal es:
Y(8)=0,00195X3 = 1 m;
De donde se encuentra la distancia vertical desde A (8-1)=7.
Tomando sumatoria de momentos en el punto D, se tiene:
SMD = 0
(2,42)8- (2,84)7 – MD = 0; de la cual:
MD = 0,52 t-m
Para el cortante y la fuerza axial, es necesario encontrar el ángulo a. Si se recuerdan los conceptos matemáticos de semestres básicos, el valor de la pendiente de una curva en un punto es el valor de la primera derivada de la función que representa la curva en esa sección; se tiene:
y’ = 0,00585 x2
y’(x = 8) = (0,00585)82 = 0,375
a = tan-1(y’(x=8))= tan-1(0,375) =20,5º
sena = 0,350; cosa = 0,937
Planteando la sumatoria de fuerzas horizontales y verticales en el diagrama de cuerpo libre mostrado, se obtienendos ecuacionescon las incógnitas ND y VD, las cuales se solucionan fácilmente:
Figura 4.30
ND cosa + VD sena + 2,84 = 0
ND sena - VD cosa + 2,42 = 0
ND = -3,51 tyVD = 1,27 t
Observar que el signo menos de la fuerza axial indica compresión, como era de esperar.
c.) para determinar la fuerza axial máxima se pueden plantear ecuaciones similares a las del punto D, pero en la parte derecha del arco, donde se encuentra la reacción vertical mayor:
y’ = 0,00585 x2
y’(x=18) = (0,00585)182 = 1,895
a = tan-1(1,895) =62,18º
sena = 0,884; cosa = 0,467
Figura 4.31
Planteando la sumatoria de fuerzas horizontales y verticales en el diagrama de cuerpo libre, se obtienendos ecuacionescon las incógnitas NC y VC, las cuales se solucionan fácilmente:
NC cosa - VC sena + 2,84 = 0
NC sena + VC cosa + 3,58 = 0
NC = -4,49 tyVC = 0,84 t
El valor de la fuerza axial máxima está cercana a la fuerza que se opone a la resultante (RC) de las reacciones en el apoyo, en este caso el C, así:
= 4,57 t
Como se puede ver, el valor la fuerza axial se sobreestimaría, en este caso, en un 1,8% (4,57> NC = 4,49).
EJERCICIOS PROPUESTOS
Figura 4.32
2. En el arco del ejemplo 2 mostrado, repetir los análisis hechos, bajo la acción de una carga uniformemente distribuida de 5 kN/m.
