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EJEMPLOS RESUELTOS
Se presentan en esta sección varios ejemplos numéricos usados para aclarar la metodología para obtener las fuerzas internas en los cables rectos y arcos mencionados en la sección y que puedan analizarse usando las condiciones de la Estática, es decir estructuras denominadas «isostáticas». Estos ejemplos son de especial importancia para los estudiantes de ingeniería civil, que cursan la asignatura Ingeniería Estructural I.
EJEMPLO 4.1
En el cable mostrado, obtener:
Figura 4.12: esquema del cable propuesto
Para solucionar este tipo de problemas, lo primero es determinar la componente horizontal de la tensión en el cable (H); para ello se toma la parte del cable entre los apoyos B y E, según se muestra en la parte superior de la figura 4.13.
Figura 4.13: el cable recto y el elemento auxiliar
La componente horizontal (H) de la tensión en el cable se relaciona con la cuerda y el momento en la viga auxiliar(mostrada en la parte inferior de la figura) en un punto en el cual se conozcan sus coordenadas; el punto C, es tal punto.
Mediante la expresión obtenida anteriormente (ec. 4.7), se puede plantear para C:
H = Mc / yc
El valor de Mc, se obtiene de la viga mostrada y es:
By = (10)(14) + (5)(7)/20 = 8,75 kN;
Ey = 15 – 8,75 = 6,25 kN
Mc = 6By = (6)(8,75) = 52,5 kN.m
MD = 7 Ey = (7)(6,25) = 43,75 kN.m
Yc = 2 + 6(tanj) = 2 + 6(3/20) = 2,9 m
H =52,5 / 2,9 = 18,1 kN
Para determinar las tensiones de los diferentes tramos del cable se debe conocer la posición de todos los puntos donde hay cargas, con el fin de determinar el ángulo que hace el cable con la horizontal. La posición vertical de D, se obtiene determinando primero el valor de yD, a partir de la ecuación:
YD = MD / H = 43,75/18,1 = 2,42 m
Con este valor se determina la distancia vertical del punto D desde la horizontal que pasa por B:
m = 2,42 – 13(tanj) = 2,42 – 13(3/20) = 0,47 m
Las tensiones en los tramos del cable se obtienen, según se vio anteriormente, mediante la expresión: T = H/cosj; obtenida a partir del equilibrio de cada nudo.
Tramo BC: jBC = tan-1(2/6) = 18,43º
TBC = H/cosjBC = 18,1/cos18,43º = 19,1 kN
Tramo CD: jCD = tan-1(2-0,47)/7 = 12,33º
TCD = H/cosjCD = 18,1/cos12,33º = 18,53 kN
Tramo DE:jDE = tan-1(3+0,47)/7 = 26,37º
TDE = H/cosjDE = 18,1/cos26,37º = 20,2 kN
Tramo BA: jBA = tan-1(8/6) = 53,13º
TBA = H/cosjBA = 18,1/cos53,13º = 30,2 kN
b. La tensión máxima en el cable está en el tramo AB (TAB = 30,2 kN = 3020 kg) y con este valor se determina el área, según el método de los «esfuerzos admisibles», usado en el diseño; recordando la definición de esfuerzo a tensión, se despeja el área (A):
s = T/A
A = Tmax / sADM = 3020 kg / 2500 kg/cm2 =1,21 cm2
De un catálogo comercial de cables se seleccionaría un cable con esta área real.
c. La fuerza axial en el paral (BF) es a compresión y se obtiene del equilibrio en el nudo B. El puntal debe soportar las componentes verticales de los dos tramos de cable AB y BC.
NBF = - (TAB )sen53,13º - (TBC)sen18,43º) = - (30,2)sen53,13º - (19,1)sen18,43º)
NBF = - 30,2 kN
d. Para la compresión máxima en los miembros de la cercha, que sirve de apoyo al extremo E del cable, se coloca como carga externa la tensión del tramo DE, en sus dos componentes ortogonales: H = 18,1 ; V = (18,1)tan26,37º = 9 kN.
Figura 4.14: diagrama de la cercha
Reacciones:
SMG = 0
-18,1(11) + 3 Hy = 0
Hy = 66,4 kN;
Gy = 66,4 + 9 = 75,4 kN
Para encontrar la fuerza axial máxima, se hace equilibrio en el nudo G:
SFx = 0 ( en nudo H)
NGH = 0;
SFx = 0 (en nudo G):
18,1 + NGL (3/5) = 0
NGL = -30,17 kN
SFy = 0 (en nudo G):
NGJ+75,4 – 30,17(4/5) = 0
NGJ = -51,2 kN
Si se hacen cortes en otros puntos se determinarán las demás fuerzas axiales de la cercha.
En el mismo ejemplo se puede obtener la componente horizontal de la tensión H, las posiciones del punto de aplicación de las cargas concentradas, los ángulos de los diferentes tramos rectos con la horizontal y las fuerzas axiales, sin recurrir al teorema de Laursen, sino planteando las condiciones de equilibrio y haciendo diagramas de cuerpo libre en cada uno de esos puntos y aplicando los conceptos usados en el curso de mecánica para encontrar las fuerzas internas en las cerchas mediante el «método de los nudos».
Figura 4.26
Planteando la sumatoria de fuerzas horizontales se obtiene:
Bx = Ex = H
Si se aplica la condición de sumatoria de momentos alrededor del apoyo E, se tiene:
SME = 0
20By+ 3H – 10(14) – 5(7) = 0,
De donde:
20By+ 3H – 175 = 0
Si hacemos un corte por el punto (c) del cable, situado a una distancia horizontal 6 m del extremo izquierdo y dibujamos el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura, se puede de nuevo tomar momentos en ese punto y obtener una expresión para By, así:
6By - 2H = 0,
de donde:
By = H/3
Remplazando esta expresión en la ecuación anterior, se obtiene:
H = 18,1 kN
Valor idéntico al obtenido anteriormente en el EJEMPLO 4.1
Figura 4.27 Diagramas de cuerpo libre de los nudos C y D
Haciendo los diagramas de cuerpo libre de los nudos C y D, se pueden encontrar las fuerzas internas y los ángulos, mediante la metodología usada al analizar cerchas por el método de los nudos.
