SEDE MANIZALES DNSAV

TEMA ADICIONAL CAPÍTULO 4

ara los estudiantes de Ingeniería civil acostumbrados al manejo de las expresiones y métodos para determinar las fuerzas internas en las vigas, es útil usar la analogía de la viga para determinar la reacción horizontal H en los cables rectos. A continuación se presenta la demostración que presenta LAURSEN, en su texto clásico Structural Analysis, la cual se considera de interés:

Figura 4.24: diagrama de cuerpo libre de un cable con tramos rectos

Planteando la sumatoria de fuerzas horizontales se obtiene:

Ax = Bx = H

Si se aplica la condición de sumatoria de momentos alrededor del apoyo B, se obtiene:

SMB = 0

AyL+ H(L)tanj - Q1(L-X1) – Q2(L-X2)- Q3(L-X3) = 0,

De donde:

Ay =-H(tanj) +(1/L)[Q1(L-X1)+Q2(L-X2)+Q3(L-X3)]

Ay =-H(tanj) + (1/L)SQi(L-Xi)(ec.4.2)

Si hacemos un corte por un punto (i) del cable, situado a una distancia horizontal x del extremo izquierdo y dibujamos el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura, se puede de nuevo tomar momentos en ese punto y obtener una expresión para Ay, así:

Figura 4.25: diagrama de cuerpo libre del cable con corte en i

SMi = 0

Ay X + H(Xtanj - y) -Q1(X-X1) – Q2(X-X2)- Q3(X-X3) = 0,

De donde:

Ay =-H tanj + y H/x + (1/X)SQi (X-Xi)(ec. 4.3)

Si se igualan los dos términos derechos de las ecuaciones (4.2) y (4.3), se tiene:

-H tanj + (1/L)SQi(L-Xi) = -H tanj + y H/x + (1/X)SQi(X-Xi

Si semultiplica por X, y se organizan, se tiene:

(X/L)SQi(L-Xi) - SQi(X-Xi)= y H

H = (X/L)SQi (L-Xi) - SQi (X-Xi)(ec.4.4)

Para encontrar el término derecho de la ecuación anterior se recurre a un elemento auxiliar: una viga de luz igual y con cargas iguales a las colocadas en el cable y una misma posición horizontal, según se muestra:

Figura 4.10: viga auxiliar

Los estudiantes de ingeniería están muy acostumbrados a analizar vigas como ésta. Se plantea encontrar el momento (Mx) en una sección a una distancia x desde el extremo A:

Si se toman momentos en el apoyo B, se puede encontrar la reacción en A, así:

Ay L - Q1(L-X1) – Q2(L-X2)- Q3(L-X3) = 0,

Ay=(1/L)SQi(L-Xi);(ec. 4.5)

Si se hace un corte en x y se dibuja el diagrama de cuerpo libre, se puede determinar Mx así:

Figura 4.11: diagrama de cuerpo libre del corte de la viga

-Mx + Ay X - Q1(X-X1) – Q2(X-X2) - Q3(X-X3) = 0

Mx = + Ay X -SQi(X-Xi),

Reemplazando la reacción vertical Ay de la ecuación 3.5, se tiene:

Mx = (1/L)SQi(L-Xi).X - SQi(X-Xi) (ec.4.6)

Si se analizan cuidadosamente los términos derechos de las ecuaciones (4.4) y (4.5), se nota que son idénticos, por lo que se puede concluir que:

y H = Mx(ec.4.7)

Esta ecuación permite relacionar la componente horizontal de la tensión en el cable (H), con la ordenada entre la cuerda que une los apoyos y un punto del cable (y) y el momento que se presentaría en una viga simple, con las mismas cargas y luces del cable; esta viga es un elemento auxiliar de tipo nemotécnico para facilitarel hallazgo del lado derecho de la ecuación original (ec. 4.4) y no pertenece a la estructura real; la luz de ella es la distancia horizontal entre los apoyos del cable recto. Esta ecuación se aplica fácilmente, también a cables curvos, producidos por cargas uniformes (w).