SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 7.

Forma CanÓnica de Jordan

Iniciamos la última lección del presente capítulo con una versión completa del teorema de Hamilton-Cayley, el cual ya habíamos considerado antes. Esta nueva versión será usada para la forma canónica de Jordan que estudiaremos ahora. La forma de Jordan utiliza todo el material estudiado en los capítulos precedentes.

Teorema 7.. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Sean $q_{T}(x)$ y $p_{T}(x)$ los polinomio mínimo y polinomio característico de , respectivamente. Entonces, Más exactamente, si

es la descomposición irreducible de $q_{T}(x)$ , , entonces

donde

para cada $1\leq i\leq k.$ En otras palabras, $q_{T}(x)$ y $p_{T}(x)$ tienen los mismos factores irreducibles salvo multiplicidades. Además, si es un cuerpo que contiene al cuerpo , entonces

$a\in F$ es raíz de $q_{T}(x)$ si y sólo si es raíz de $p_{T}(x).$

Demostración

Pasamos ahora a definir los bloques y matrices de Jordan. Sea un cuerpo cualquiera y un elemento de la matriz

MATH

de orden $r\geq 1$ se denomina bloque elemental de Jordan de orden correspondiente al elemento . El caso debe entenderse como la matriz de tamaño $1\times 1$ . La matriz $J_{a}$ con $t\geq 1$ bloques elementales de Jordan, de órdenes ,

MATH

se denomina bloque de Jordan correspondiente al elemento . Sean elementos diferentes pertenecientes al cuerpo , $k\geq 1,$ la matriz

MATH

donde $J_{a_{i}}$ es un bloque de Jordan correspondiente al valor $a_{i}$ se denomina matriz de Jordan correspondiente a los elementos .

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Se dice que es diagonalizable en bloques de Jordan si existe una base en el espacio tal que $m_{X}(T)$ es una matriz de Jordan. Finalmente, decimos que una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ es diagonalizable en bloques de Jordan diagonalizable en bloques de Jordan si es similar a una matriz de Jordan.

Corolario 9. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y una base de . Entonces, es diagonalizable en bloques de Jordan si y sólo si $m_{X}(T)$ es diagonalizable en bloques de Jordan.

Nuestro objetivo ahora es demostrar que toda transformación (matriz) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es diagonalizable en bloques de Jordan. Podemos comenzar demostrando este resultado para matrices y transformaciones nilpotentes sobre cualquier cuerpo . Una transformación (matriz ) es nilpotente si existe un entero positivo $m\geq 1$ tal que $T^{m}=0$ ( $A^{m}=0$ ); el menor entero positivo con esta condición se denomina índice de nilpotencia de (de ).

Proposición 13. Sea $N:W\rightarrow W$ una transformación lineal nilpotente de un espacio de dimensión finita $d\geq 1$ . Entonces existe una base en tal que

MATH

donde

MATH

es un bloque elemental de Jordan de orden $s_{i}$ perteneciente al valor de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: , y de nilpotencia de .

Demostración

Teorema 8. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ tal que el polinomio característico de se descompone completamente en en producto de factores lineales (este es el caso cuando es algebraicamente cerrado). Entonces, es diagonalizable en bloques de Jordan.