formas canonicas


 Lección 6. 
   Forma CanÓnica Racional

 

 

Recordemos que dos matrices rectangulares son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango ($\text{v\U{e9}ase}$ el Corolario 4 del Capítulo 3). Sin embargo, esto no es necesariamente cierto para matrices cuadradas mediante similaridad. La forma MATH racional que estudiaremos en la presente lección permite clasificar las matrices cuadradas por similaridad en términos de de sus factores invariantes.

Sea MATH un polinomio mónico de grado $n\geq 1$ de $K[x]$. La matriz

MATH

se conoce con el nombre de matriz compañera del polinomio $p(x).$ Si $p(x)=a+x$ es de grado $1$, entonces la matriz compañera de $p(x)$ se define como la matriz $[a]$ de tamaño $1\times 1$. La siguiente MATH muestra una conexión entre este concepto y el concepto de vector cíclico presentado en la lección inmediatamente anterior.

Proposición 10. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$. Entonces, $T$ tiene un vector cíclico si y sólo si existe una base $X$ en $V$ tal que $m_{X}(T)$ es la matriz compañera del polinomio mínimo de $T$.

Demostración

Corolario 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$, y sea $v\neq 0$ un vector de $V.$ Sea $[v]_{T}$ el subespacio cíclico generado por el vector $v$ y $T_{[v]}$ la restricción de $T$ a $[v]_{T}$. Entonces, $v$ es un vector cíclico de $T_{[v]}$ y existe una base $X$ en $[v]_{T}$ tal que la matriz de $T_{[v]}$ en dicha base es la matriz compañera de $q_{v}(x)$ $.$

Demostración

Proposición 11. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$. Si $A$ es la matriz compañera de un polinomio mónico $p(x)$, entonces $p(x)$ es el polinomio mínimo y característico de la matriz $A$.

Demostración

Ya podemos definir los conceptos de transformación lineal racionalizable y matriz racionalizable.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$, se dice que $A$ es una matriz racional o matriz de Frobenius si existen polinomois mónicos no constantes MATH $1\leq r\leq n$, tales que MATH para cada $1\leq i\leq r-1$ y $A$ es de la forma

MATH

donde el bloque $A_{i}$ es la matriz compañera del polinomio MATH Los polinomios $\,p_{i}(x)$ se conocen como los factores invariantes de la matriz $A.$ Nótese que el orden de $A_{i}$ es igual al grado del polinomio $p_{i}(x)$, además, por el Corolario 3 y la Proposición 11, se tiene que MATH, MATH Una matriz $B$ se dice racionalizable si $B$ es similar a una matriz racional. Finalmente, sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1,$ se dice que $T$ esracionalizable si existe una base $X$ en $V$ tal que la matriz de $T$ en dicha base es una matriz racional. De manera inmediata se tiene el siguiente corolario.

Corolario 6. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$ y sea $X$ una base cualquiera de $V$. Entonces, $T$ es racionalizable si y sólo si $m_{X}(T)$ es racionalizable.

Teorema 6. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$. Entonces, existe una base $X$ en $V$ tal que $m_{X}(T)$ es racional. En otras palabras, toda transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$ es racionalizable. También, toda matriz $A$ de orden $n\geq 1$ es racionalizable.

Demostración

Nótese que por el Teorema de Descomposición Cíclica, existe un vector $v_{1}$ en $V$ tal que $q_{v_{1}}(x)$ coincide con el polinomio mínimo de $T.$ Esta observación y el hecho que $\dim ([v_{1}])$=MATH, permite entonces sacar las siguientes conclusiones.

Corolario 7. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión $n\geq 1$. Entonces,

a) Existe un vector $v_{1}$ en $V$ tal que $q_{v_{1}}(x)$ coincide con el polinomio mínimo de $T.$

b) $T$ tiene un vector cíclico si y solo si $p_{T}(x)=q_{T}(x).$

Las mismas afirmaciones son válidas para matrices.

Ejercicio 6. Determine si la matriz

MATH

tiene vectores cíclicos.

Para terminar queremos considerar el problema de similaridad de matrices en términos de los factores invariantes.

Proposición 12. Toda matriz cuadrada $B$ de orden $n\geq 1$ es similar a una y sólo una matriz racional de la forma (1) descrita arriba. Los polinomios MATH MATH se conocen como los factores invariantes de la matriz $B$.

Demostración

Una consecuencia inmediata de esta afirmación es el siguiente corolario.

Corolario 8. Dos matrices cuadradas son similares si y sólo si tienen la misma forma MATH racional, es decir, si y sólo si tienen los mismos factores invariantes.

Ejercicio 7. Sea MATH un polinomio mónico de grado $n\geq 1$ y sea $A$ su matriz compañera. Demuestre que $xE-A$ es equivalente a la matriz

MATH

(Para este ejercicio considere operaciones elementales en el conjunto de matrices con entradas en el anillo de polinomios $K[x].$ La segunda operación elemental debe entenderse en este caso como multiplicación por un polinomio constante no nulo).

Ejercicio 8. Sea $A$ una matriz de grado $n\geq 1$ con entradas en un cuerpo $K$, y sean MATH sus factores invariantes. Utilizando el Ejercicio 7 demuestre que la matriz $\ xE-A$ es equivalente a la matriz

MATH

 

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