SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 6.

Forma CanÓnica Racional

Recordemos que dos matrices rectangulares son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango ( $\text{v\U{e9}ase}$ el Corolario 4 del Capítulo 3). Sin embargo, esto no es necesariamente cierto para matrices cuadradas mediante similaridad. La forma racional que estudiaremos en la presente lección permite clasificar las matrices cuadradas por similaridad en términos de de sus factores invariantes.

Sea un polinomio mónico de grado $n\geq 1$ de . La matriz

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se conoce con el nombre de matriz compañera del polinomio Si es de grado , entonces la matriz compañera de se define como la matriz de tamaño $1\times 1$ . La siguiente muestra una conexión entre este concepto y el concepto de vector cíclico presentado en la lección inmediatamente anterior.

Proposición 10. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ . Entonces, tiene un vector cíclico si y sólo si existe una base en tal que $m_{X}(T)$ es la matriz compañera del polinomio mínimo de .

Demostración

Corolario 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ , y sea $v\neq 0$ un vector de Sea $[v]_{T}$ el subespacio cíclico generado por el vector y $T_{[v]}$ la restricción de a $[v]_{T}$ . Entonces, es un vector cíclico de $T_{[v]}$ y existe una base en $[v]_{T}$ tal que la matriz de $T_{[v]}$ en dicha base es la matriz compañera de $q_{v}(x)$

Demostración

Proposición 11. Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ . Si es la matriz compañera de un polinomio mónico , entonces es el polinomio mínimo y característico de la matriz .

Demostración

Ya podemos definir los conceptos de transformación lineal racionalizable y matriz racionalizable.

Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ , se dice que es una matriz racional o matriz de Frobenius si existen polinomois mónicos no constantes $1\leq r\leq n$ , tales que para cada $1\leq i\leq r-1$ y es de la forma

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donde el bloque $A_{i}$ es la matriz compañera del polinomio Los polinomios $\,p_{i}(x)$ se conocen como los factores invariantes de la matriz Nótese que el orden de $A_{i}$ es igual al grado del polinomio $p_{i}(x)$ , además, por el Corolario 3 y la Proposición 11, se tiene que , Una matriz se dice racionalizable si es similar a una matriz racional. Finalmente, sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1,$ se dice que esracionalizable si existe una base en tal que la matriz de en dicha base es una matriz racional. De manera inmediata se tiene el siguiente corolario.

Corolario 6. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ y sea una base cualquiera de . Entonces, es racionalizable si y sólo si $m_{X}(T)$ es racionalizable.

Teorema 6. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ . Entonces, existe una base en tal que $m_{X}(T)$ es racional. En otras palabras, toda transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ es racionalizable. También, toda matriz de orden $n\geq 1$ es racionalizable.

Demostración

Nótese que por el Teorema de Descomposición Cíclica, existe un vector $v_{1}$ en tal que $q_{v_{1}}(x)$ coincide con el polinomio mínimo de Esta observación y el hecho que $\dim ([v_{1}])$ =, permite entonces sacar las siguientes conclusiones.

Corolario 7. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ . Entonces,

a) Existe un vector $v_{1}$ en tal que $q_{v_{1}}(x)$ coincide con el polinomio mínimo de

b) tiene un vector cíclico si y solo si $p_{T}(x)=q_{T}(x).$

Las mismas afirmaciones son válidas para matrices.

Ejercicio 6. Determine si la matriz

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tiene vectores cíclicos.

Para terminar queremos considerar el problema de similaridad de matrices en términos de los factores invariantes.

Proposición 12. Toda matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ es similar a una y sólo una matriz racional de la forma (1) descrita arriba. Los polinomios se conocen como los factores invariantes de la matriz .

Demostración

Una consecuencia inmediata de esta afirmación es el siguiente corolario.

Corolario 8. Dos matrices cuadradas son similares si y sólo si tienen la misma forma racional, es decir, si y sólo si tienen los mismos factores invariantes.

Ejercicio 7. Sea un polinomio mónico de grado $n\geq 1$ y sea su matriz compañera. Demuestre que es equivalente a la matriz

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(Para este ejercicio considere operaciones elementales en el conjunto de matrices con entradas en el anillo de polinomios La segunda operación elemental debe entenderse en este caso como multiplicación por un polinomio constante no nulo).

Ejercicio 8. Sea una matriz de grado $n\geq 1$ con entradas en un cuerpo , y sean sus factores invariantes. Utilizando el Ejercicio 7 demuestre que la matriz $\ xE-A$ es equivalente a la matriz

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