SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 6.

Forma CanÓnica Racional

Teorema 6. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ . Entonces, existe una base en tal que $m_{X}(T)$ es racional. En otras palabras, toda transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ es racionalizable. También, toda matriz de orden $n\geq 1$ es racionalizable.

Demostración. Según el Teorema de Descomposición Cíclica, existen vectores no nulos con polinomios anuladores tales que

y para cada $1\leq i\leq r-1.$ Puesto que los vectores $v_{i}$ son no nulos, entonces los polinomios $q_{v_{i}}(x)$ no son constantes. Teniendo en cuenta que los subespacios $[v_{i}]$ son invariantes, podemos aplicar el Corolario 5 de la Lección 3 y la Proposición 7 para completar la prueba del teorema $\Box$