SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 6.

Forma CanÓnica Racional

Proposición 11. Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ . Si es la matriz compañera de un polinomio mónico , entonces es el polinomio mínimo y característico de la matriz .

Demostración.. Sea

MATH

la matriz compañera del polinomio representa la matriz de una cierta transformación de $K^{n}$ en la base canonica (véase el paso 2 de la demostración del Teorema 1 del Capítulo 3). Entonces,

$\vdots$

es decir, , con lo cual, y $e_{1}$ resulta ser un vector de . Entonces, por las propiedades de los vectores cíclicos estudiadas en la lección anterior se tiene que Pero sabemos que $q_{T}(x)=q_{A}(x)$ y $p_{T}(x)=p_{A}(x).$ Hemos probado que Además,

es decir, lo cual indica que el polinomio es de $q_{e_{1}}(x)$ , y por razones de grado se tiene la igualdad $p(x)=q_{e_{1}}(x).$ $\Box$